前幾天 sffish 考了我一個問題，我想了一下覺得有點意思。也許對念數學的人來說沒什麼，不過我們念資訊的（？）普遍（？）數學沒這麼好（好吧，只有我啦），所以可能會有點意思。這個問題我用資訊系大學生熟悉的語言包裝一下是這樣的：我們知道電腦在算3D圖學的東西都把那些曲面切成許許多多的三角形來處理，就好像下面那個看似平滑的茶壺，其實是由很多三角形所構成的：

這個觀念有點像微積分，我們廣域的曲線太複雜不會做，就把局部當作直線來算；當切的區域非常小的時候，算出來的值就會趨近於真實的情況。還記得微積分裡面怎麼算面積的嗎？就是切很多塊 dxdy，然後把函數在每個小塊的範圍都當成平面來算面積。只要曲面夠平滑，當 dxdy 趨近於 0 時，黎曼和就會趨近於面積。

現在問題是，我們如果用像電腦圖學那樣子的方法，把一個平滑的曲面表示成許許多多三角形，其頂點全都在曲面上，是否總是可以用這些三角形的面積和來近似曲面的面積呢？也就是說，是否只要三角形趨近於無限小，不管他們的形狀，他們的面積加總，就會趨近於曲面的面積呢？

直覺上聽起來當然是啦。但是 sffish 會這麼問，絕對有鬼！

什麼叫做三角形趨近於無限小呢？定義得不太清楚。如果是指面積趨近於無限小的話，我的直覺就錯了。三角形的邊長可不一定趨近於無限小！一個三角形可以很尖很扁，面積很小。好像下圖一樣，如果我用綠色的三角形來舖這個拋物面，我可以設計當三角形面積趨近於無限小時，這些三角形的底邊都變窄一半，高卻不變。也就是說到最後會有一大堆像針一樣的三角形「橋」形成一個「橋面」橫跨這個拋物面「峽谷」。不論三角形有多小，橋面的面積都不變。

從上面這個例子來看，只限定三角形的面積趨近於零，是沒有辦法總是逼近曲面的面積的。

如果限定三角形的邊長，也要趨近於無限小呢？這樣子，就不會有固定長度的「橋」了。當邊長趨近於無限小時，橋的長度也會變短，就搆不到「兩岸」了。

所以，是不是限定三角形的邊長趨近於無限小，就可以總是用一堆頂點全都在曲面上的三角形面積來趨近？這下總算是了吧。但是這題是 sffish 問的，絕對有鬼！（待續）